Geometría

♣♣♣¨GEOMETRÍA¨♣♣♣

Geometría (del griego geō, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

RECONOCER LOS TIPOS DE ÁNGULOS

Un ángulo es una superficie de un plano. En general, un ángulo está delimitado por dos semirrectas con un mismo origen. Estas semirrectas son los lados del ángulo. El origen recibe el nombre de vértice del ángulo. La amplitud del ángulo viene dada por la apertura de sus lados. ¿Cuáles son las características y las propiedades específicas de los ángulos?
I. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
1. Ángulo nulo o cero
Un ángulo nulo (amplitud 0°) es aquel en el que sus dos lados coinciden.
2. Ángulo agudo
Un ángulo agudo tiene una amplitud menor de 90º.
3. Ángulo recto
Un ángulo recto tiene una amplitud de 90º.
4. Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso tiene una amplitud mayor que 90º y menor que 180º.
5. Ángulo llano
Un ángulo llano tiene una amplitud de 180º.
6. Ángulo reflejo
Un ángulo reflejo tiene una amplitud mayor de 180º y menor de 360º.
7. Ángulo completo
Un ángulo completo tiene una amplitud de 360º.
II. ÁNGULOS CONSECUTIVOS, ADYACENTES, ALTERNOS, CORRESPONDIENTES Y OPUESTOS
Los ángulos no solo se pueden clasificar en función de su amplitud, como acabamos de ver anteriormente, sino que también se pueden catalogar en función de sus posiciones relativas.
1. Ángulos consecutivos
Los ángulos y comparten la semirrecta Oy, la cual actúa como lado compartido de ambos. Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado y el vértice común, y además se cumple que la suma de los dos ángulos es igual al ángulo formado por los lados no comunes de los ángulos.
Cuando se da una situación como esta, se dice que ambos ángulos son consecutivos.
Si los dos ángulos y son consecutivos, entonces: + = .
Efectivamente, si observamos los ángulos de la figura 8, podemos afirmar que:
+ = = 35° + 15° = 50°.
En cambio, los ángulos marcados en la figura 9 no son consecutivos.
En el primer caso, no tienen un vértice común. En el segundo caso, aunque tienen un lado común, la suma de los dos ángulos no es igual al ángulo formado por los lados no comunes.
2. Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes cuando, además de ser consecutivos, tienen el lado no común sobre la misma recta.
3. Ángulos alternos internos
En la figura 11, los ángulos y son alternos internos. Los ángulos y son también alternos internos.
Si las dos rectas cortadas por la transversal son paralelas, entonces los ángulos alternos internos son iguales. Observa la ilustración: los ángulos y son alternos internos e iguales. Los ángulos y son alternos internos y son iguales.
4. Ángulos alternos externos
En la figura 12, los ángulos y son alternos externos. Los ángulos y son también alternos externos.
Si las dos rectas cortadas por la transversal son paralelas, entonces los ángulos alternos externos son iguales. Observa la ilustración: los ángulos y son alternos externos e iguales. Los ángulos y son también alternos externos y son iguales.
5. Ángulos correspondientes
En la figura 13, los ángulos y son correspondientes, los ángulos y son correspondientes, los ángulos y son correspondientes, y los ángulos y son correspondientes. Dicho de otra forma, dos ángulos son correspondientes si cumplen que:
- están ubicados de un mismo lado de la transversal;
- uno es interior y el otro es exterior.
Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.
6. Ángulos opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos por el vértice vienen determinados por dos rectas secantes. En la figura 14, los ángulos e son opuestos por el vértice. e también son opuestos por el vértice.
Dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud. Es decir, son iguales.
III. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
1. Ángulos complementarios
Se dice que dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es 90º.
En la figura 15, los ángulos y son complementarios.
Nota: los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
Regla: la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. En un triángulo rectángulo, uno de sus tres ángulos es recto, por lo tanto, sus otros dos ángulos tienen que sumar 90º para que se cumpla la propiedad anterior. Observa esta ilustración con varios triángulos rectángulos:
2. Ángulos suplementarios
Decimos que dos ángulos son suplementarios si la suma de sus amplitudes es 180º.
En la figura 17, los ángulos y son suplementarios.
Nota: en un paralelogramo, dos ángulos consecutivos son suplementarios.
En la figura 18, los ángulos y ; y ; y ; y , son suplementarios.

CALCULAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Triángulos con lados de distinto tamaño pueden tener la misma área. El área de un triángulo solo depende de la longitud de su base y de su altura.
¿Cómo podemos calcular el área de un triángulo a partir de esa información?
I. CALCULAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO
1. Base y altura
Podemos escoger cualquier lado de un triángulo y tomarlo como su base. Por conveniencia, la misma palabra (base) se usa para dar a entender la longitud de ese lado. En cuanto uno de los lados es escogido como base, podemos apreciar que hay solo una altura relativa a esa base. Recuerda que la altura es la perpendicular a la base que pasa por el vértice opuesto a ella.
2. Fórmula
La fórmula que nos permite calcular el área A de un triángulo de base b y altura h es: .
Para aplicar correctamente esta fórmula, b y h deben estar expresados en las mismas unidades de medida, y A vendrá dada en las unidades correspondientes; por ejemplo: si b viene dado en cm, entonces debemos trabajar con h expresada en cm y el resultado que obtengamos para A vendrá expresado en cm2.
3. Ejemplo
Tomemos el lado AB como la base del triángulo que aparece en la figura 3.
Aplicamos la fórmula del área con los siguientes datos: b = 4 cm y h = 3,5 cm.
. Por tanto, el área del triángulo es de 7 cm2.
4. Un caso especial
En el caso del triángulo rectángulo, si escogemos uno de los catetos como base, la altura correspondiente a él es precisamente el otro cateto. Es decir, en el triángulo rectángulo, dos de sus alturas se superponen a los catetos y, por lo tanto, miden lo mismo que ellos.
En la figura 5, el área A del triángulo con el ángulo recto en I, viene dada por la fórmula: .
II. SUPLEMENTOS
1. Demostración de la fórmula
La figura 6 servirá como ejemplo para demostrar la fórmula que calcula el área del triágulo:
El área del romboide es . El área de cada triángulo es justo la mitad del área del romboide; por lo tanto, el área del triángulo es: .
2. Calcular la altura de un triángulo
es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A, donde AB = 4 cm, BC = 5 cm y AC = 3 cm. Vamos a calcular la altura h = AH.
El área del triángulo es: .
Esta área (6 cm2) también es igual a: . Por consiguiente, ; y despejando: ; y .
La altura AH mide 2,4 cm.



TRAZAR LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO Y DETERMINAR SU ORTOCENTRO

Hay tres alturas que pueden ser dibujadas en un triángulo.
¿Cuáles son las propiedades de estas rectas y qué es el ortocentro de un triángulo?
I. LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO
La altura de un triángulo es la recta que pasando por un vértice cae en perpendicular sobre el lado opuesto al vértice.
Construir la altura que pasa por el vértice A del triángulo significa construir una recta perpendicular al lado BC, que pase a través de A.
Notas:
—En la figura 1, al punto A' se le denomina base de la altura que sale de A.
—La palabra altura indica la línea que une el vértice con la base (el segmento AA' de la figura 1).
—La palabra altura también significa la longitud del segmento (longitud AA' de la figura 1). Este es el significado que se pretende dar cuando decimos que el área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura.
—Existen tres alturas en un triángulo (tantas como número de ángulos).
—La altura que baja en perpendicular desde un ángulo, no siempre corta al lado opuesto de ese ángulo. Observa la figura 2.
II. EL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO
1. Propiedad
En un triángulo, las tres alturas son concurrentes. Su punto de intersección se denomina ortocentro del triángulo. En la figura 3, el punto H es el ortocentro del triángulo.
Nota: en la práctica, solo necesitamos trazar dos alturas para obtener el ortocentro de un triángulo.
2. Posición del ortocentro
El ortocentro no siempre está localizado en el interior del triángulo.
Podemos observar que:
—si los tres ángulos del triángulo son agudos, el ortocentro estará dentro del triángulo (primer caso).
—si el triángulo tiene un ángulo obtuso (mayor que un ángulo recto), el ortocentro estará fuera del triángulo -será exterior al triángulo- (segundo caso).
—si el triángulo es de tipo rectángulo, entonces el ortocentro estará situado en el vértice del ángulo recto (tercer caso).
Nota: dado el triángulo y teniendo su ortocentro en H, podemos observar que C es el ortocentro del triángulo . Por la misma razón, el ortocentro del triángulo sería el vértice A, y el ortocentro de sería B.
APLICAR LOS TEOREMAS RELATIVOS A LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO

Cuando estudiamos los dos teoremas relativos a los puntos medios de los lados de un triángulo, estamos considerando no solo los puntos medios de dos lados del triángulo, sino también la recta que los une.
Estos teoremas nos permitirán demostrar que un punto cualquiera es o no el punto medio de un segmento, o si dos rectas son paralelas o no.
I. LA RECTA QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO
1. Teorema 1
En un triángulo , la recta que pasa a través de los puntos medios B' en AC y C' en AB es paralela al tercer lado del triángulo (BC). Además, la longitud de B'C' es exactamente la mitad de la longitud de BC.
Nota: la recta B'C' se denomina recta de los puntos medios del triángulo .
2. Ejemplo
Enunciado: es un triángulo. A' es el punto medio del lado BC, B' el punto medio de AC y C' el punto medio de AB. Queremos demostrar que el cuadrilátero AB'A'C' es un paralelogramo.
Demostración: el segmento A'B' pasa a través de los puntos medios de BC y AC. Por lo tanto, es paralelo al lado AB. Por la misma razón, A'C' es paralelo al lado AC. Dado que el cuadrilátero AB'A'C' tiene dos pares de lados paralelos, es un paralelogramo.
3. Una aplicación del teorema 1: un problema de alineamiento
Enunciado: ABCD es un trapecio con bases AB y CD. Por otra parte, I, J, K y L son los puntos medios de los segmentos AD, BC, AC y BD respectivamente. Queremos demostrar que los cuatro puntos I, J, K y L están alineados.
Demostración: en el triángulo , el segmento IL une los puntos medios de los lados AD y BD, por lo tanto, el segmento IL es paralelo a AB. Por el mismo motivo, en el triángulo , el segmento JL es paralelo a DC y por consiguiente también a AB. Ambos segmentos IL y JL son paralelos a AB; y tienen un punto en común: L. A partir de aquí podemos deducir que forman una línea continua. Esto demuestra que I, L y J están alineados.
Analizando los triángulos y con el mismo criterio, podemos también demostrar que los puntos K, I y J están alineados. En conclusión, los puntos I, J, K y L están en la misma recta, IJ; por lo tanto, están alineados.
II. LA RECTA QUE PASA A TRAVÉS DEL PUNTO MEDIO DE UN LADO Y ES PARALELA A UNO DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO
1. Teorema 2
En un triángulo , la recta que pasa a través del punto medio B' del lado AC y es paralela al lado AB, pasa a través del punto medio C' del tercer lado, BC. Por supuesto, podemos observar otra vez que:
B'C' =  AB.
2. Ejemplo
Enunciado: en la figura 5, tenemos que AI =  AB y D es un punto simétrico a B, respecto de C. Trazamos una recta paralela a DI que pase por C, y que cortará a AB en J. Queremos demostrar que J es el punto medio del segmento IB y que AI = IJ = JB.
Demostración: primero, observamos que IB =  AB. Como sabemos que AI =  AB, despejando, AB = 3AI. Sustituyendo:
IB =  · 3 · AI.
Por lo tanto, IB = 2AI y C es el punto medio de BD. Imaginemos ahora el triángulo . La línea CJ pasa por el punto medio del lado BD y es paralela al lado DI. El teorema 2 nos permite confirmar que esta línea corta al tercer lado en su punto medio. Por consiguiente, J es el punto medio del segmento IB y podemos deducir que IJ = JB =  IB. Puesto que IB = 2AI, sabemos que: AI =  IB = IJ = JB.


CALCULAR LA LONGITUD DE UN LADO O LA AMPLITUD DE UN ÁNGULO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Para calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo conociendo lo que miden los otros dos, utilizamos el teorema de Pitágoras. Si solo conocemos un lado y un ángulo agudo, podemos usar el seno, el coseno o la tangente de este ángulo.
I. CALCULAR LA LONGITUD DE UN LADO
Queremos calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo conociendo lo que mide otro de sus lados y la amplitud de uno de sus ángulos agudos. Identificaremos en la figura del triángulo el lado y el ángulo conocidos, así como el lado cuya longitud queremos hallar. Observando el triángulo, deduciremos qué razón trigonométrica debemos utilizar: el seno, el coseno o la tangente.
Veámoslo con un ejemplo.
Problema: es un triángulo rectángulo en el que Î es el ángulo recto, la longitud del lado IK = 3 cm y = 26°. Queremos calcular lo que miden los lados KJ e IJ aproximando sus valores hasta las centésimas, es decir, hasta 0,01 cm.
Solución: conocemos la longitud del cateto IK, que es el lado opuesto a , y queremos hallar la longitud de KJ, que es la hipotenusa del triángulo; podemos por tanto usar el seno del ángulo . En general, en un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es igual a la razón .
Podemos escribir: ; donde sustituyendo resulta . Y despejando queda .
Usando una calculadora, obtenemos: KJ 6,84 cm.
Calculemos la longitud del lado IJ: conocemos la longitud de IK, que es el cateto opuesto a , y queremos hallar la longitud de IJ, que es el cateto contiguo a ; podemos, por tanto, usar la tangente del ángulo . En general, en un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo es igual a la razón .
Podemos escribir: ; donde sustituyendo resulta . Y despejando queda .
Usando una calculadora, obtenemos: IJ 6,15 cm.
II. CALCULAR UN ÁNGULO
Queremos hallar la amplitud de un ángulo de un triángulo rectángulo, conociendo las longitudes de dos de sus lados. Bastará con identificar en la figura del triángulo los dos lados conocidos y el ángulo que queremos calcular para decidir cuál de las razones trigonométricas hemos de usar: el seno, el coseno o la tangente.
Veámoslo con un ejemplo.
Problema: es un triángulo rectángulo en el que es un ángulo recto, la longitud del lado RV = 7 m, y la del lado NV = 9 m.
Queremos hallar la amplitud del ángulo aproximando su valor hasta las décimas, es decir, hasta 0,1°.
Solución: conocemos la longitud de RV, que es el cateto contiguo al ángulo , y la de NV, que es la hipotenusa del triángulo; podemos, por tanto, usar la fórmula del coseno del ángulo . En general, en un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo es igual a la razón .